湖南省长沙市2019年中考数学试卷
年级： 学科：数学 类型：中考真卷 来源：91题库
一、单选题（共12小题）
1、下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A . ﹣5
B . ﹣1
C . 0
D . 1
2、根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、下列计算正确的是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、下列事件中，是必然事件的是（ ）
A . 购买一张彩票，中奖
B . 射击运动员射击一次，命中靶心
C . 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D . 任意画一个三角形，其内角和是180°
5、如图，平行线AB ， CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A . 80°
B . 90°
C . 100°
D . 110°
6、某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A . 平均数
B . 中位数
C . 众数
D . 方差
8、一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A . 2π
B . 4π
C . 12π
D . 24π
9、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 
的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ， 交BC于点D ， 连接AD ， 则∠CAD的度数是（ ）
的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ， 交BC于点D ， 连接AD ， 则∠CAD的度数是（ ） 
A . 20°
B . 30°
C . 45°
D . 60°
10、如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A . 
n mile
B . 60 n mile
C . 120 n mile
D . 
n mile
n mile
B . 60 n mile
C . 120 n mile
D . n mile
11、《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
12、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E ， D是线段BE上的一个动点，则 
的最小值是（ ）
的最小值是（ ） 
A . 
B . 
C . 
D . 10
B .
C .
D . 10
二、填空题（共6小题）
1、若式子 
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
2、分解因式：am2﹣9a= ．
3、不等式组 
的解集是 ．
的解集是 ．
4、在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
|
摸球实验次数 |
100 |
1000 |
5000 |
10000 |
50000 |
100000 |
|
“摸出黑球”的次数 |
36 |
387 |
2019 |
4009 |
19970 |
40008 |
|
“摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） |
0.360 |
0.387 |
0.404 |
0.401 |
0.399 |
0.400 |
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
5、如图，要测量池塘两岸相对的A ， B两点间的距离，可以在池塘外选一点C ， 连接AC ， BC ， 分别取AC ， BC的中点D ， E ， 测得DE＝50m ， 则AB的长是 m ．
6、如图，函数 
(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A ， B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C ， D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E ， F ． 现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M ， 则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则 
；④若 
，则MD＝2MA ． 其中正确的结论的序号是 ．
(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A ， B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C ， D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E ， F ． 现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M ， 则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则 ；④若 ，则MD＝2MA ． 其中正确的结论的序号是 ． 
三、解答题（共8小题）
1、计算： 
．
．
2、先化简，再求值： 
，其中a＝3．
，其中a＝3．
3、某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
|
等级 |
频数 |
频率 |
|
优秀 |
21 |
42% |
|
良好 |
m |
40% |
|
合格 |
6 |
n% |
|
待合格 |
3 |
6% |
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
4、如图，正方形ABCD ， 点E ， F分别在AD ， CD上，且DE＝CF ， AF与BE相交于点G ．
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
5、近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
6、根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
(2)如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1 ， ∠BCD＝∠B1C1D1 ， 
，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
(3)如图2，四边形ABCD中，AB∥CD ， AC与BD相交于点O ， 过点O作EF∥AB分别交AD ， BC于点E ， F ． 记四边形ABFE的面积为S1 ， 四边形EFDE的面积为S2 ， 若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 
的值．
的值．
7、已知抛物线 
(b ， c为常数)．
(b ， c为常数)．
(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ， c的值；
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
(3)在（1）的条件下，存在正实数m ， n( m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有 
，求m ， n的值．
，求m ， n的值．
8、如图，抛物线 
(a为常数，a＞0)与x轴交于O ， A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t ， 0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O ， A ， B三点的⊙P相交于点C ．
(a为常数，a＞0)与x轴交于O ， A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t ， 0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O ， A ， B三点的⊙P相交于点C ． 
(1)求点A的坐标；
(2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E ． ①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC ， BE ， BO ， 当 
，∠CAE＝∠OBE时，求 
的值
，∠CAE＝∠OBE时，求 的值