北京市第四中学2018-2019学年九年级上学期数学期中考试试卷
年级： 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、选择题（共8小题）
1、抛物线y=-2（x-3）2-4的顶点坐标（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
3、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
4、若A（-4，y1），B（-1，y2），C（2，y3）为二次函数y=-（x+2）2+3的图象上的三点，则y1 ， y2 ， y3小关系是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
6、如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0．其中正确的有（ ）个．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
8、二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（ ）
A . 0
B . 
C . 1
D . 2
C . 1
D . 2
二、填空题（共8小题）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，tanA=
， 则AC=
， 则AC=
2、若 
，则 
= ．
，则 = ．
3、如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
4、抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是 ．
5、已知二次函数y=x2-x+ 
m-1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
m-1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
6、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为 ．
7、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：
|
x |
… |
3 |
5 |
7 |
… |
|
y |
… |
2.5 |
2.5 |
-1.5 |
… |
则a+b+c= ．
8、如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC= ．
三、计算题（共2小题）
1、若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，-1）两点，求此二次函数的解析式．
2、已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（ 
取1.73， 
取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．
取1.73， 取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）． 
四、解答题（共8小题）
1、求值： 
cos245°-sin30°tan60°+ 
sin60°．
cos245°-sin30°tan60°+ sin60°．
2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．
(1)求证：△ABC∽△CBD；
(2)如果AC=4，BC=3，求BD的长．
3、某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y=-10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．
4、已知抛物线y1=x2+2（m+2）x+m-2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），对称轴为直线x=-1．
(1)求m的值；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
|
x |
… |
|
|
|
|
|
… |
|
y |
… |
|
|
|
|
|
… |
(2)若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（-2，-3），根据图象直接写出当x取什么值时，y2≤y1 ．
5、在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
(1)求PD的长；
(2)点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= 
，求CE的长．
，求CE的长．
6、已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤- 
之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．
之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．
7、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
8、阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x，点A（1，t）在抛物线y=x2-4x+5上，求点A到直线l的距离d．
如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点 D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．
请回答：
(1)图1中，AD= ，点A到直线l的距离d= ．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y=x2-4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．
(2)如图2，
①l：y=-x，d=
，则点M的坐标为 ▲ ；
②l：y=-x，在点M运动的过程中，求d的最小值。
①l：y=-x，d=
，则点M的坐标为 ▲ ；②l：y=-x，在点M运动的过程中，求d的最小值。
(3)如图3，l：y=2x-7，在点M运动的过程中，d的最小值是 ．