2016-2017学年江苏省徐州市高二下学期期中数学试卷（理科）
年级：高二 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、填空题（共14小题）
1、复数 
= ．
= ．
2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是 ．
3、从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有
种．
4、由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为 （写序号）．
5、设z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，则z= ．
6、观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为 ．
7、若（2x+ 
）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ， 则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为 ．
）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ， 则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为 ．
8、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 
．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．
．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ． 
9、用数学归纳法证明不等式1+ 
+ 
+…+ 
＞ 
成立，起始值应取为n= ．
+ +…+ ＞ 成立，起始值应取为n= ．
10、用数学归纳法说明：1+ 
，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 项．
，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 项．
11、某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）．
12、已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是 ．
13、如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量 
围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin 
+cos 
= ．
围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin +cos = ． 
14、我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线 
﹣ 
=1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y= 
x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 ．
﹣ =1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y= x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 ． 
二、解答题（共6小题）
1、设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|= 
，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
(1)求复数z；
(2)若 
+ 
为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．
+ 为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．
2、阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
令α+β=A，α﹣β=β 有α= 
，β= 
代入③得 sinA+sinB=2sin 
cos 
．
(1)利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin 
cos 
．
cos ．
3、已知 
的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为 
．
的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为 ．
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
4、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
5、综合题。
(1)找出一个等比数列{an}，使得1， 
，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
(2)证明： 
为无理数；
为无理数；
(3)证明：1， 
，4不可能为同一等差数列中的三项．
，4不可能为同一等差数列中的三项．
6、已知函数f（x）=alnx﹣x+ 
，g（x）=x2+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
，g（x）=x2+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
(1)求a，b的值；
(2)设h（x）= 
，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
(3)求证：1+ 
+ 
+…+ 
＞lnn+ 
（n≥2且n∈N*）．
+ +…+ ＞lnn+ （n≥2且n∈N*）．