2017年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：（共12小题）
1、已知函数f（x）=sin（2ωx﹣ 
）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（ ）
）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（ ）
A . 函数f（x）的图象关于点（ 
，0）对称
B . 函数f（x）的图象关于直线x= 
对称
C . 函数f（x）的图象在（ 
，π）上单调递减
D . 函数f（x）的图象在（ 
，π）上单调递增
，0）对称
B . 函数f（x）的图象关于直线x= 对称
C . 函数f（x）的图象在（ ，π）上单调递减
D . 函数f（x）的图象在（ ，π）上单调递增
2、已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}，则A∩B=（ ）
A . {0}
B . {2}
C . {0，2}
D . {﹣2，0}
3、已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则 
在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
4、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
5、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6、函数f（x）=xa满足f（2）=4，那么函数g（x）=|loga（x+1）|的图象大致为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、函数f（x）=xa满足f（2）=4，那么函数g（x）=|loga（x+1）|的图象大致为（ ）
A . 
B .
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、若变量x，y满足不等式组 
，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a的值为（ ）
，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a的值为（ ）
A . 1
B . 7
C . ﹣1
D . ﹣7
9、将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（ ）
A . 14
B . 15
C . 16
D . 17
10、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）
A . 12π
B . 48π
C . 4 
π
D . 32 
π
π
D . 32 π
11、某一算法框图如图，输出的S值为（ ）
A . 
B . - 
C . 
D . 0
B . -
C .
D . 0
12、已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆上存在点P使得 
，则m的取值范围是（ ）
，则m的取值范围是（ ）
A . （﹣∞，4]
B . （6，+∞）
C . （4，6）
D . [4，6]
13、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 
的渐近线与抛物线 
交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（ ）
的渐近线与抛物线 交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
14、定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足 
， 
则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数 
是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
， 则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数 是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题：（共4小题）
1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 
，则a= ．
，则a= ．
2、若二项式 
的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为 ．
的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为 ．
3、矩形OABC的四个顶点坐标依次为 
，线段OA，OC及 
的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内Ω的概率为 ．
，线段OA，OC及 的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内Ω的概率为 ．
4、定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时， 
；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ， x3 ， …xn ， …，若 
，则x1+x2+…+x2n= ．
；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ， x3 ， …xn ， …，若 ，则x1+x2+…+x2n= ． 三、解答题（共7小题）
1、已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 
，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜2．
，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜2．
2、根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：
组别 | PM2.5浓度 （微克/立方米） | 频数（天） | 频率 |
第一组 | （0，25] | 3 | 0.15 |
第二组 | （25，50] | 12 | 0.6 |
第三组 | （50，75] | 3 | 0.15 |
第四组 | （75，100] | 2 | 0.1 |
(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
①求图4中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
(2)将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．
3、已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的两个焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 
，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4 
．
（a＞b＞0）的两个焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 ，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．
4、已知函数 
(1)当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；
(2)当 
时，讨论函数f（x）的单调性；
时，讨论函数f（x）的单调性；
(3)若x＞0，求函数 
的最大值．
的最大值．
5、已知函数 
6、已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为 
（t为参数）．
（t为参数）．
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．
7、已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
(1)若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．
8、如图，已知长方形ABCD中，AB=2 
，AD= 
，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM
，AD= ，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 
．
