2016-2017学年江苏省南京市高二上学期期末数学试卷（理科）
年级：高二 学科：数学 类型：期末考试 来源：91题库
一、填空题：（共14小题）
1、命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是 ．
2、双曲线 
=1的渐近线方程是 ．
=1的渐近线方程是 ．
3、双曲线 
=1的渐近线方程是 ．
=1的渐近线方程是 ．
4、已知复数 
为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 ．
为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 ．
5、在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是 ．
6、曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是 ．
7、已知实数x，y满足条件 
则z=2x+y的最大值是 ．
则z=2x+y的最大值是 ．
8、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是 ．
9、在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是 ．
10、观察下列等式：
（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2= 
×1×2；
（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+sin（ 
）﹣2= 
×2×3；
（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+…+sin（ 
）﹣2= 
×3×4；
（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+…+sin（ 
）﹣2= 
×4×5；
…
照此规律，
（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+（sin 
）﹣2+…+（sin 
）﹣2= ．
11、若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
12、已知函数f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是 ．
13、有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是 ．
14、已知椭圆E： 
=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM= 
PF，则椭圆E离心率的取值范围是 ．
=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM= PF，则椭圆E离心率的取值范围是 ．
15、已知t＞0，函数f（x）= 
，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是 ．
，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是 ． 二、解答题：（共6小题）
1、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
2、已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
(1)求a2 ， a3 ， a4；
(2)求a2 ， a3 ， a4；
(3)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
(4)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
3、已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
(1)求a2 ， a3 ， a4；
(2)求a2 ， a3 ， a4；
(3)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
(4)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为 
，求直线l的方程．
，求直线l的方程．
5、在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
6、某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
7、在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3 
= 
，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．
=1（a＞b＞0）的离心率为 ，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3 = ，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方． 
(1)求椭圆E的方程；
(2)若BC⊥CD，求k的值；
(3)记直线AD，BC的斜率分别为k1 ， k2 ， 求证： 
为定值．
为定值．
8、已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
(1)当a=1时，求f（x）的最小值；
(2)若存在x∈[1，3]，使 
+lnx=2成立，求a的取值范围；
+lnx=2成立，求a的取值范围；
(3)若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（ 
）成立，求a的取值范围．
）成立，求a的取值范围．