2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用（综合题）_试卷库_91题库

2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用（综合题）

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一、解答题（共12小题）

1、已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

(1)f’(x)在区间(-1， $\text{[math]}$ )存在唯一极大值点；

(2)f(x)有且仅有2个零点。

2、已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。

(1)证明：f'(x)在区间(0, π)存在唯一零点；

(2)若xϵ[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

3、已知函数f（x）= $\text{[math]}$ x³-x²+x.

（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；

（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；

（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.

4、已知函数 $\text{[math]}$ .

(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀ ， ln x₀)处的切线也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线.

5、已知函数 $\text{[math]}$ ，证明：

(1) $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点；

(2) $\text{[math]}$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

6、已知函数f（x）=2x³-ax²+b.

(1)讨论f（x）的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

7、已知曲线C: $\text{[math]}$ ，D为直线y=- $\text{[math]}$ 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E（0， $\text{[math]}$ ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

8、已知函数 $\text{[math]}$ .

(1)讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2)当0<a<3时，记 $\text{[math]}$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

9、设函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数.

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，证明 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的零点，其中 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

10、设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，

（i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点

（ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

11、已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ $\text{[math]}$ .x>0

(1)当a=- $\text{[math]}$ 时，求函数f（x）的单调区间

(2)对任意x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）均有f（x）≤ $\text{[math]}$ ，求a的取值范围

12、设函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为f（x）的导函数．

(1)若a=b=c ， f（4）=8，求a的值；

(2)若a≠b ， b=c ，且f（x）和 $\text{[math]}$ 的零点均在集合 $\text{[math]}$ 中，求f（x）的极小值；

(3)若 $\text{[math]}$ ，且f（x）的极大值为M ，求证:M≤ $\text{[math]}$ ．

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