高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题_试卷库

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题

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一、单选题（共10小题）

1、如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ $\text{[math]}$ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

2、如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，M，N分别是棱BB₁ ， B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁和DM所成角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

3、在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为（）

A . 10 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

6、设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于（）

A . 45° B . 30° C . 90° D . 60°

7、如图，点 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 所在平面外一点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

9、已知二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 分别在平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点之间距离的最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

10、在空间直角坐标系中，定义：平面 $\text{[math]}$ 的一般方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且A，B，C不同时为零），点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面中心O到侧面 $\text{[math]}$ 的距离d等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 5

二、填空题（共6小题）

1、在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的法向量的夹角的正弦值为.

2、在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为顶点 $\text{[math]}$ 在底面上的射影， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角是．

3、正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

4、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为.

5、如图所示，在直平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

6、已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，M、N、P分别在棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．过M、N、P三点的平面交 $\text{[math]}$ 于点Q，则A、Q两点间的距离为．

三、解答题（共4小题）

1、如图，四棱锥 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的菱形， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .

(I)求证： $\text{[math]}$ 为直角三角形；

(II)试确定 $\text{[math]}$ 的值，使得二面角 $\text{[math]}$ 的平面角余弦值为 $\text{[math]}$ .

2、如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1)求证： $\text{[math]}$ ；

(2)求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

3、如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧棱 $\text{[math]}$ 上的一点.若 $\text{[math]}$ ，试求：

(1) $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 的夹角的正切值；

(2)BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.

4、已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

(1)求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(2)求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.