2016-2017学年江苏省扬中、六合、句容、省溧、中华、江浦、华罗庚七校联考高三上学期期中数学试卷
年级：高三 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、填空题（共14小题）
1、已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在第 象限．
2、某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是 ．
3、在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2 ， 则S1＞2S2的概率是 ．
4、执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．
5、设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若 
= 
，则 
= ．
= ，则 = ．
6、已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax（a∈R），且f（2）=6，则f（1）= ．
7、设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣ 
＜φ＜ 
，x∈R）的部分图象如图所示．则A+ω+φ= ．
＜φ＜ ，x∈R）的部分图象如图所示．则A+ω+φ= ． 
8、如图，在2×4的方格纸中，若 
和 
是起点和终点均在格点的向量，则向量2 
+ 
与 
﹣ 
的夹角余弦值是 ．
和 是起点和终点均在格点的向量，则向量2 + 与 ﹣ 的夹角余弦值是 ． 
9、已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ= 
，sinαsinβ= 
，则tan（β﹣α）的值为 ．
，sinαsinβ= ，则tan（β﹣α）的值为 ．
10、已知正数x，y满足x+2y=2，则 
的最小值为 ．
的最小值为 ．
11、已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
12、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 
=﹣14，则 
= ．
=﹣14，则 = ． 
13、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N* ， 其中k是常数．若对于任意的m∈N* ， am ， a2m ， a4m成等比数列，则k的值为 ．
14、若f（x）=x﹣1﹣alnx，g（x）= 
，a＜0，且对任意x1 ， x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜| 
﹣ 
|的恒成立，则实数a的取值范围为 ．
，a＜0，且对任意x1 ， x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜| ﹣ |的恒成立，则实数a的取值范围为 ． 二、解答题（共6小题）
1、在△ABC中，已知C= 
，向量 
=（sinA，1）， 
=（1，cosB），且 
．
，向量 =（sinA，1）， =（1，cosB），且 ．
(1)求A的值；
(2)若点D在边BC上，且3 
= 
， 
= 
，求△ABC的面积．
= ， = ，求△ABC的面积．
2、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
3、已知椭圆C： 
=1（a＞b＞0），离心率为 
，左准线方程是x=﹣2，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB．
=1（a＞b＞0），离心率为 ，左准线方程是x=﹣2，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB． 
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△AOB面积取得最小值时，线段AB的长度．
4、如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC= 
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在 
上选一点P（异于M，N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在 上选一点P（异于M，N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ． 
(1)若∠PBC= 
，求PQ的长度；
，求PQ的长度；
(2)当点P选择在何处时，才能使得修建的小路 
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
5、设数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn= 
，数列{cn}的前n项和为Tn= 
．求n．
，数列{cn}的前n项和为Tn= ．求n．
6、对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
(1)求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；
(2)设f（x）= 
（x∈[1，e 
]），g（x）=mlnx（x∈[1，e 
]）．（e≈2.718）
（x∈[1，e ]），g（x）=mlnx（x∈[1，e ]）．（e≈2.718） ①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求满足条件的最大正整数a；
②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求实数m的取值范围．
三、附加题（共4小题）
1、已知a、b∈R，若M= 
所对应的变换T把直线2x﹣y=3变换成自身，试求实数a、b．
所对应的变换T把直线2x﹣y=3变换成自身，试求实数a、b．
2、在极坐标系中，已知点P（2 
），直线l：ρcos（θ+ 
）=2 
，求点P到直线l的距离．
），直线l：ρcos（θ+ ）=2 ，求点P到直线l的距离．
3、已知曲线C：y2=2x﹣4．
(1)求曲线C在点A（3， 
）处的切线方程；
）处的切线方程；
(2)过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
4、已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A1 ， A2 ， A3 ， …， 
．
． 设A1 ， A2 ， A3 ， …， 
中所有元素之和为Sn ．
(1)求S4 ， S5 ， S6并求出Sn；
(2)证明：S4+S5+…+Sn=10Cn+26 ．