2016-2017学年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷（理科）
年级：高三 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、选择题（共8小题）
1、已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A . {x|x＞1}
B . {x|2＜x＜3}
C . {x|1＜x＜3}
D . {x|x＞2或x＜1}
2、已知向量 
=（﹣1，2）， 
=（2，﹣4）．若 
与 
（ ）
=（﹣1，2）， =（2，﹣4）．若 与 （ ）
A . 垂直
B . 不垂直也不平行
C . 平行且同向
D . 平行且反向
3、函数y=2x+ 
的最小值为（ ）
的最小值为（ ）
A . 1
B . 2
C . 2 
D . 4
D . 4
4、已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（ ）
A . ∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解
B . ∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解
C . ∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解
D . ∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解
5、已知函数y=ax ， y=xb ， y=logcx的图象如图所示，则（ ）
A . a＞b＞c
B . a＞c＞b
C . c＞a＞b
D . c＞b＞a
6、设 
， 
是两个向量，则“| 
+ 
|＞| 
﹣ 
|”是“ 
• 
＞0”的（ ）
， 是两个向量，则“| + |＞| ﹣ |”是“ • ＞0”的（ ）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
7、已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（ ）
A . f（x）是偶函数
B . 函f（x）最小值为 
C . 
是函f（x）的一个周期
D . 函f（x）在（0， 
）内是减函数
C . 是函f（x）的一个周期
D . 函f（x）在（0， ）内是减函数
8、如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（ ）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 大于2
二、填空题（共6小题）
1、已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1，则a2+a3= ．
2、若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）= ．
3、已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则 
= ．
= ．
4、去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（ 
x+ 
）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃．
x+ ）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃．
5、设函数f（x）= 
（a＞0，且a≠1）．
（a＞0，且a≠1）． ①若a= 
，则函数f（x）的值域为 ；
②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是 ．
6、已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：
①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；
②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，
则称函数f（x）为Ω函数．
在下列函数中：
①y=x+sinx；
②y=3x﹣（ 
）x；
③y= 
是Ω函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号）
三、解答题（共6小题）
1、已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an ， 且b2=﹣18，b3=﹣24．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求bn取得最小值时n的值．
2、已知函数f（x）=cos（2x﹣ 
）﹣cos2x．
）﹣cos2x．
(1)求f（ 
）的值；
）的值；
(2)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
3、已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．
(1)已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；
(2)若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．
4、如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD= 
．
． 
(1)求CD的长；
(2)求sin∠BAD的值．
5、已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）．
(1)求f（x）的单调区间；
(2)求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．
6、已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）．
(1)若a1=2，a2=3，求a3 ， a4 ， a5的值；
(2)求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；
(3)求证：在数列{an}中∃ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．