2015-2016学年河北省廊坊市高三上学期期末数学试卷（理科）
年级：高三 学科：数学 类型：期末考试 来源：91题库
一、选择题（共12小题）
1、已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中元素的个数是（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
2、复数 
等于（ ）
等于（ ）
A . ﹣2+2i
B . 1+I
C . ﹣1+I
D . 2﹣2i
3、已知点A（1，0），B（6，2）和向量 
=（2，λ），若 
∥ 
，则实数λ的值为（ ）
=（2，λ），若 ∥ ，则实数λ的值为（ ）
A . 
B . ﹣ 
C . 
D . ﹣ 
B . ﹣
C .
D . ﹣
4、已知α的终边过点P（2，﹣1），则cosα的值为（ ）
A . ﹣ 
B . ﹣ 
C . 
D . 
B . ﹣
C .
D .
5、如图程序的功能是（ ）
A . 计算1+3+5+…+2016
B . 计算1×3×5×…×2016
C . 求方程1×3×5×…×i=2016中的i值
D . 求满足1×3×5×…×i＞2016中的最小整数i
6、下列说法正确的个数是（ ）
①若f（x）= 
+a为奇函数，则a= 
；
②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= 
”的既不充分也不必要条件；
④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
7、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组 
，设 
与 
的夹角为θ，则sinθ的最大值为（ ）
，设 与 的夹角为θ，则sinθ的最大值为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A . 28
B . 32
C . 
D . 24
D . 24
9、如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，令h（x）=xf（x），h′（x）是h（x）的导函数，则h′（1）的值是（ ）
A . 2
B . 1
C . ﹣1
D . 
10、用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，现将半径为 
的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）
的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ） 
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、过双曲线 
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若 
=3 
，则双曲线的离心率为（ ）
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若 =3 ，则双曲线的离心率为（ ）
A . 
B . 2
C . 
D . 
B . 2
C .
D .
12、已知函数f（x）= 
，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（ ）
，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（ ）
A . （0， 
）
B . （ 
，2]
C . [0， 
）
D . （ 
，2）
）
B . （ ，2]
C . [0， ）
D . （ ，2）
二、填空题（共4小题）
1、现有10张奖券，其中4张有奖，若有4人购买，每人一张，至少有一人中奖的概率是 ．
2、已知数列{an}中a1=1，nan=（n+1）an+1 ， 则a2016= ．
3、若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则ab的取值范围是 ．
4、函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则 
=
= 三、解答题（共8小题）
1、设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=3，a3=a22﹣27．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn ．
2、近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个重要指标．各省、市、县均要进行实时监测，某市2015年11月的PM2.5浓度统计如图所示．
日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 |
11﹣1 | 137 | 11﹣11 | 144 | 11﹣21 | 40 |
11﹣2 | 143 | 11﹣12 | 166 | 11﹣22 | 42 |
11﹣3 | 145 | 11﹣13 | 197 | 11﹣23 | 35 |
11﹣4 | 193 | 11﹣14 | 194 | 11﹣24 | 53 |
11﹣5 | 133 | 11﹣15 | 219 | 11﹣25 | 88 |
11﹣6 | 22 | 11﹣16 | 41 | 11﹣26 | 29 |
11﹣7 | 22 | 11﹣17 | 90 | 11﹣27 | 199 |
11﹣8 | 57 | 11﹣18 | 46 | 11﹣28 | 287 |
11﹣9 | 111 | 11﹣19 | 80 | 11﹣29 | 291 |
11﹣10 | 134 | 11﹣20 | 67 | 11﹣30 | 452 |
(1)请完成频率分布表；
空气质量指数类别 | PM2.5 24小时浓度均值 | 频数 | 频率 |
优 | 0﹣35 | 4 | |
良 | 36﹣75 | 7 | |
轻度污染 | 76﹣115 | 4 | |
中度污染 | 116﹣150 | 6 | |
重度污染 | 151﹣250 | ||
严重污染 | 251﹣500 | ||
合计 | / | 30 | 1 |
(2)专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动，在2015年11月份，该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛，求拔河比赛能正常进行的概率．
(3)PM2.5浓度在75以上，空气质量为超标，陶先生在2015年11月份期间曾有两天经过该市，记ξ表示两天中PM2.5检测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．
3、如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ABC=∠CAD=90°，点E在棱PB上，且PE=2EB，PA=AB=BC．
(1)求证：PD∥平面AEC；
(2)求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
4、已知点R是圆心为Q的圆（x+ 
）2+y2=16上的一个动点，N（ 
，0）为定点，线段RN的中垂线与直线QR交于点T，设T点的轨迹为曲线C．
）2+y2=16上的一个动点，N（ ，0）为定点，线段RN的中垂线与直线QR交于点T，设T点的轨迹为曲线C． 
(1)求曲线C的方程；
(2)过圆x2+y2=1上的动点P作圆x2+y2=1的切线l，与曲线C交于不同两点A，B，用几何画板软件可画出线段AB的中点M的轨迹是如图所示的漂亮的曲线，求该曲线的方程．
5、m∈R，函数f（x）=mx﹣lnx+1．
(1)讨论函数f（x）的单调区间和极值；
(2)将函数f（x）的图象向下平移1个单位后得到g（x）的图象，且x1= 
（e为自然对数的底数）和x2是函数g（x）的两个不同的零点，求m的值并证明：x2＞e 
．
（e为自然对数的底数）和x2是函数g（x）的两个不同的零点，求m的值并证明：x2＞e ．
6、已知△ABC中，D是△ABC外接圆劣弧 
上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，且AD的延长线平分∠CDE．
上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，且AD的延长线平分∠CDE． 
(1)求证：AB=AC；
(2)若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为4+2 
，求△ABC外接圆的面积．
，求△ABC外接圆的面积．
7、在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=2sinθ，过点P（0，1）的直线l的参数方程为 
（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．
（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)求|MN|．
8、设函数f（x）= 
．
．
(1)当m=3时，求函数f（x）的定义域；
(2)若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围．