2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二下学期期中数学试卷（理科）_试卷库

2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二下学期期中数学试卷（理科）

年级：高一学科：数学类型：期中考试来源：91题库

一、选择题（共12小题）

1、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中一、二、三、四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中一年级的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰后2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（　　）

A . 24种 B . 18种 C . 48种 D . 36种

2、已知集合A={x|x²﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）

A . （0，3） B . （0，1）∪（1，3） C . （0，1） D . （﹣∞，1）∪（3，+∞）

3、若复数z=（cosθ﹣ $\text{[math]}$ ）+（sinθ﹣ $\text{[math]}$ ）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣ $\text{[math]}$ ）的值为（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . ﹣7 D . ﹣7或 $\text{[math]}$

4、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、下列命题中真命题的个数为（）

①命题“若lgx=0，则x=l”的逆否命题为“若lgx≠0，则x≠1”

②若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题

③命题p：∃x∈R，使得sinx＞l；则￢p：∀x∈R，均有sinx≤1

④“x＞2”是“ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

6、∫ $\text{[math]}$ |x²﹣4|dx=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7、甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、设F₁ ， F₂为椭圆 $\text{[math]}$ =1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF₁的中点在y轴上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

9、有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

10、已知函数f（x）=x²﹣x﹣ $\text{[math]}$ （x＜0），g（x）=x²+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为（）

A . （﹣4 $\text{[math]}$ ﹣5，+∞） B . （4 $\text{[math]}$ ﹣5，+∞） C . （﹣4 $\text{[math]}$ ﹣5，1） D . （4 $\text{[math]}$ ﹣5，1）

11、已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x³﹣px²+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）

A . 4 B . 4或﹣3 C . ﹣3或﹣1 D . ﹣3

12、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、填空题（共4小题）

1、（x²+ $\text{[math]}$ ﹣2）ⁿ展式中的常数项是70，则n= ．

2、已知单调递减的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄是等差中项，则公比q= ，通项公式为a_n= ．

3、已知函数f（x）= $\text{[math]}$ sinxcosx﹣cos²x﹣ $\text{[math]}$ ，x∈R，则函数f（x）的最小值为，函数f（x）的递增区间为．

4、对于函数f（x）给出定义：

设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀ ，则称点（x₀ ， f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．

某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 $\text{[math]}$ ，请你根据上面探究结果，计算

$\text{[math]}$ = ．

三、解答题（共6小题）

1、如图，在△ABC中，点D在BC边上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1)求sin∠C的值；

(2)若BD=5，求△ABD的面积．

2、心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²= $\text{[math]}$ ．

3、数列{a_n}满足S_n=2n﹣a_n（n∈N^*）．

(1)计算a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，并由此猜想通项公式a_n；

(2)用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

4、已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ．

(1)求证：平面PAM⊥平面PDM；

(2)若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

5、已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．

(1)求椭圆W的方程；

(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

6、已知函数f（x）= $\text{[math]}$ （x＞0）．

(1)试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；

(2)若f（x）＞ $\text{[math]}$ 恒成立，求整数k的最大值；

(3)求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e²ⁿ^﹣³ ．